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圖形存在問題在各地中考中屢見不鮮.這類問題常常以圖形的變化或圖形上點的運動為主線，要求我們判斷和說明符合某一結論的現象是否存在.解答這類問題，可首先假設這種現象存在，再考慮利用化“動”為“靜”的策略，構造方程關系式或函數關系式，進行判斷和說明.下面舉例說明如何利用模型法破解等腰三角形存在性問題。

“兩圓一線”模型：

在平面直角坐標系中遇到等腰三角形的相關問題后，通常是以頂點作為分類標準，這樣就可以構造輔助圓來解決問題。比如下圖中，確定一點M，使三角形ABM為等腰三角形，處理方法如下：當以點A為頂點時，M點的軌跡就是以點A為圓心，AB長為半徑的圓，然后根據約束條件來求解；當以點B為頂點時，M點的軌跡就是以點B為圓心，AB長為半徑的圓上，然后根據約束條件來求解；當以點M為頂點時，點M的軌跡就在線段AB的垂直平分線上，然后根據約束條件來求解。

如：已知：定點A(2，1),B(6，4)和動點M（m，0）,可通過“兩圓一線”模型確定存在等腰三角形ABM。

類型1 等腰三角形的計數問題（難點）

例1（2018秋?沙洋縣期中）在平面直角坐標系中，為坐標原點，點的坐標為（2，2），為軸上一點，且使得△為等腰三角形，則滿足條件的點的個數為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】借助“兩圓一線”模型分析，分別以、為圓心，以長為半徑作圓，與軸交點即為所求點，再作線段的垂直平分線，與坐標軸的交點也是所求的點，作出圖形，利用數形結合求解即可．

【解答】如圖，滿足條件的點的個數為4．故選：．

【點評】本題考查了坐標與圖形的性質及等腰三角形的判定；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應在符合三角形三邊關系的前提下分類討論．

變式1（2017秋?高郵市月考）在平面直角坐標系中，點在第一象限，點在軸上，若以，，為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點的個數是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．2或4

【分析】借助“兩圓一線”模型分析，分為三種情況：①＝，②＝，③＝，分別畫出即可．

【解答】當與軸正半軸夾角不等于60°時，以為圓心，以為半徑畫弧交軸于

點和′，此時三角形是等腰三角形，即有2個滿足條件的點；

以為圓心，以為半徑畫弧交軸于點″（除外），此時三角形是等腰三角形，即有1個滿足條件的點；作的垂直平分線交軸于一點，則＝，此時三角形是等腰三角形，即有2個滿足條件的點；2+1+1＝4，當與軸正半軸夾角等于60°的時候，圖中的，'和'會重合，是一個點，加上原來的負半軸的點，總共2個點，故選：．

變式2（2018秋?泰興市期中）如圖，∠＝45°，點，在邊上，＝3，＝7，點是直線上的點，要使點，，構成等腰三角形的點有個．

【分析】借助“兩圓一線”模型分析，先求出點、到在的距離，再根據等腰三角形的判定逐個畫出即可．

【解答】過作′⊥于′，過作′⊥于′，

∵＝3，＝7，∠＝45°，∴＝4，′＝×sin45°＝3√2/2＜4，

′＝×sin45°＝7√2/2＞4，＝′′＝4×sin45°＝2√2＜4，

所以只有一小兩種情況：①以為圓心，以4為半徑畫弧，交直線于、，此時△和△都是等腰三角形；

②作線段的垂直平分線，交直線于，此時△是等腰三角形，

即有3個點符合，故答案為：3．

【點評】本題考查了等腰三角形的判定，能求出符合的所有情況是解此題的關鍵．

類型2 涉及等腰三角形的判定的探究問題(熱點)

例2（2018秋?江陰市期中）已知：如圖1：射線MN⊥AB于點M，點C從M出發，以1cm/s的速度沿射線MN運動，AM＝1，MB＝4，設運動時間為ts，

（1）當△ABC為等腰三角形時，求t的值；

（2）當△ABC為直角三角形時，求t的值；

（3）點C在運動的過程中，若△ABC為鈍角三角形，則t的取值范圍是．

【分析】（1）借助“兩圓一線”模型分析探究動點C的位置，分CB＝AB、AB＝AC和AC＝BC三種情況，根據等腰三角形的性質和勾股定理計算即可；

（2）根據勾股定理列式計算；

（3）由②的結論結合圖形解答即可；

【解答】（1）當CB＝AB時，

在Rt△MCB，BC＝5，BM＝4，由勾股定理得：MC＝3，則t＝3s；

當AB＝AC時，在Rt△MCA，AM＝1，AC＝5，

由勾股定理得：MC＝2√6，則t＝2√6s；

當AC＝BC時，C在AB的垂直平分線上，與條件不合；

∴當t＝3s或2√6s時，△ABC為等腰三角形；

（2）∵由題意∠ACB＝90°時，∴AC+BC＝AB，

設CM＝x，在Rt△MCB中由勾股定理得：BC＝x+4，

在Rt△MCA中，由勾股定理得：AC＝x+1，

∴x+4+x+1＝5，解得x＝2，∴t＝2s；

（3）∵當t＝2時，△ABC為直角三角形，

∴0＜t＜2時，△ABC為鈍角三角形；

故答案為：0＜t＜2；

【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是學會用分類討論的思想解決問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考常考題型．

類型3 函數背景下涉及等腰三角形的判定的探究問題(熱點)

例3（2018秋?慈利縣期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點（0，2），且與反比例函數＝8/x在第一象限內的圖象交于點，作⊥軸于點，＝2．

（1）求直線的函數解析式；

（2）設點是軸上的點，若△的面積等于6，直接寫出點的坐標；

（3）設點是軸上的點，且△為等腰三角形，求點的坐標．

【分析】（1）由⊥軸，＝2，即可求得點的坐標，然后利用待定系數法即可求得此一次函數的解析式；

（2）由點是軸上的點，若△的面積等于6，可求得的長，繼而求得點的坐標．；

（3）借助“兩圓一線”模型分析探究動點M的位置，分類討論：以為底和以為腰兩種情況來解答．

【解答】（1）∵⊥軸，＝2，∴點的橫坐標為2，

將＝2代入＝8/x，得＝4，∴（2，4），

設直線的函數解析式為＝+（≠0），

將點（0，2）、（2，4）代入＝+得b=2,2k+b=4，∴k=1,b=2，

∴直線的函數解析式為＝+2；

（2）∵點是軸上的點，若△的面積等于6，（2，4），

即＝1/2×2＝6，∴＝6，

∵（0，2），∴（0，8）或（0，﹣4）．

（3）∵（2，4），（0，2），∴＝2√2．

①當＝時，點是線段垂直平分線上的點，此時（0，6）；

②當＝＝2√2時，′（0，2+2√2），或″（0，2﹣2√2）．

③當＝時，（0，4）．

綜上所述，滿足條件的點的坐標是（0，6）或（0，2+2√2）或（0，2﹣2√2）或（0，4）．

【點評】此題考查了反比例函數綜合題，涉及到了待定系數法求一次函數的解析式以及反比例函數與一次函數的交點問題．此題難度適中，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．

練習1.（2018秋?易門縣期中）如圖，拋物線＝+3+經過（﹣1，0），（4，0）兩點，與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點在第一象限的拋物線上，且點的橫坐標為，過點向軸作垂線交直線于點，設線段的長為，求與之間的函數關系式，并求出的最大值；

（3）在軸上是否存在點，使以點，，為頂點的三角形為等腰三角形？如果存在，直接寫出點坐標；如果不存在，請說明理由．

【練習1答案及提示】（1）y＝﹣x+3x+4；

拋物線y＝ax+3x+c經過A（﹣1，0），B（4，0），把A、B兩點坐標代入上式，解得：a＝﹣1，c＝4，即可求解，

（2）當t＝2時，m的最大值為4

設點P的橫坐標為t，則P（t，﹣t+3t+4），Q（t，﹣t+4），則PQ＝﹣t+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t+4t，即可求解；m＝﹣t+4t＝﹣（t﹣2）+4（0＜t＜4）．

（3）存在．分EC＝BE、BC＝CE、BC＝BE分別求解即可．E（﹣4.0）或（4，0）或（0，0）或（4﹣4√2，0）或（4+2√2）．

滿分技法: 等腰三角形的存在問題分解題策略

1. 假設結論成立；

2. 找點：當所給定長未說明是等腰三角形的底還是腰時，需分情況討論，具體方法如下：

① 當定長為腰時，找已知條件上滿足直線的點時，以定長的某一端點為圓心，以定長為半徑畫弧，若所畫弧與坐標軸或拋物有交點且交點不是定長的另一端點時，交點即為所求的點；若所畫弧與坐標軸或拋物線無交點或交點是定長的另一端點時，滿足條件的點不存在；

② 當定長為底邊時，根據尺規作圖作出定長的垂直平分線，若作出的垂直平分線與坐標軸或拋物線有交點時，那交點即為所求的點，若作出的垂直平分線與坐標軸或拋物線無交點時，滿足條件的點不存在；以上方法即可找出所有符合條件的點.

3. 計算：在求點坐標時，大多時候利用相似三角形求解，如果圖形中沒有相似三角形，可以通過添加輔線構造相似三角形，有時也可利用直角三角形的性質進行求解。

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