兩個(gè)增長(zhǎng)量倍數(shù)關(guān)系—兩個(gè)增長(zhǎng)量倍數(shù)關(guān)系是什么

1.你喜歡學(xué)習(xí)嗎？有的同學(xué)不喜歡學(xué)習(xí)喜歡玩游戲，如：玩王者榮耀，贏一

場(chǎng)漲一顆星，立竿見影，而學(xué)習(xí)是一個(gè)成長(zhǎng)的過程，需要一段時(shí)間的積累，從量

變到質(zhì)變，見效慢，有的同學(xué)耐不住寂寞，因此不喜歡學(xué)習(xí)。

2.你會(huì)學(xué)習(xí)嗎？別人聽課你也聽課，別人學(xué)習(xí)你也學(xué)習(xí)，但是沒有別人學(xué)習(xí)

的效果好，因?yàn)閷W(xué)習(xí)方法不對(duì)，需要進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)。

3.什么是系統(tǒng)性學(xué)習(xí)？預(yù)習(xí)→學(xué)習(xí)（理論知識(shí)）→練習(xí)→復(fù)習(xí)→總結(jié)，學(xué)習(xí)

的時(shí)候往往注重練習(xí)，卻忽略復(fù)習(xí)和總結(jié)。

4.學(xué)習(xí)階段：

（1）以老師方法為基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)并接受。

（2）認(rèn)真、專注。

1.間隔增長(zhǎng)率。后面 3個(gè)題型根據(jù)間隔增長(zhǎng)率衍生的，核心為間隔增長(zhǎng)率。

2.間隔倍數(shù)。

3.間隔基期。

4.間隔增長(zhǎng)量。

5.弄清三個(gè)問題：

（1）識(shí)別：隔一年+求增長(zhǎng)率。

①例：2020年志哥私房錢同比增長(zhǎng) 10%，2019 年同比增長(zhǎng) 5%。問：2020 年

比 2018 年增長(zhǎng)百分之幾？

答：增長(zhǎng)+百分?jǐn)?shù)，求增長(zhǎng)率，r來表示，2020 年比 2018年，中間隔一年（2019

年），求間隔增長(zhǎng)率。本題有 2020年、2019年、2018年三個(gè)年份，題中給出 2020

年比 2019 年的增長(zhǎng)率 r1，2019 年比 2018 年的增長(zhǎng)率 r2，求 2020 年比 2018 年

增長(zhǎng)率。

②關(guān)鍵點(diǎn) 1：r1、r2怎么找？俗家記憶：離我們最接近的兩年。

形式 1：直接給。

如：2020年志哥私房錢的同比增速為 10%，2019年同期增速為 5%。求：2020

年比 2018 年的增速。

答：本題有 2020 年、2019 年、2018 年，離我們最近的兩年為 2020 年增長(zhǎng)

率 r1和 2019年增長(zhǎng)率 r2，或者 2018年、2017 年、2016年，離我們最近的兩年

為 2018 年增長(zhǎng)率 r1和 2017 年增長(zhǎng)率 r2。本題直接給了 2020 年和 2019 年的增

長(zhǎng)率。

形式 2：給百分點(diǎn)關(guān)系。

如：2020年志哥私房錢的同比增速為 10%，增速比上年上升 5個(gè)百分點(diǎn)。求：

2020年比 2018年的增速。

答：已知 2020 年增長(zhǎng)率 r1=10%，給增速和上一年的關(guān)系，高減低加，上升

做減法，r2=10%-5%=5%。

（2）關(guān)鍵點(diǎn) 2：公式如何推導(dǎo)？

①公式：和+積，r1+r2+r1*r2。

②推導(dǎo)：假設(shè) 2018 年的量為 A，2019 年比 2018 年的增長(zhǎng)率為 r2，則 2019

年的量=A*（1+r2），2020 年比 2019年的增長(zhǎng)率為 r1，則 2020年的量=A*（1+r2）

*（1+r1），求增長(zhǎng)率，r=現(xiàn)期/基期-1=[A*（1+r2）*（1+r1）]/A-1=1+r1+r2+r1*r2

-1=r1+r2+r1*r2。

（3）速算：關(guān)鍵點(diǎn) 3：公式如何速算？

①第一步，先算加和（分析選項(xiàng)是否是唯一值）。

15%+18%+15%*18%≈

A.35.7% B.30.9%

C.28.9% D.41.6%

答：15%+18%=33%，觀察選項(xiàng)，33%+一個(gè)正數(shù)，結(jié)果大于 33%，排除 B、C項(xiàng)，

若 D項(xiàng)為 21.6%，則 D 項(xiàng)也可以排除。但本題確定不了唯一答案，需要分 2種情

況。

②第二步，再算乘積→若 r1、r2絕對(duì)值均小于 10%時(shí)，10%*10%=1%，間隔增

長(zhǎng)率的選項(xiàng)大于 1%，則 r1*r2可忽略，如：5%+8%+5%*8%≈13%。不能忽略時(shí)，一

個(gè)不變，另一個(gè)百化分。如：28%+25%+28%*25%≈53%+28%*1/4=53%+7%=60%。

③練三練：

練習(xí) 1：18%+15%+18%*15%≈33%+1/5*15%=33%+3%=36%。18%看成 20%是有誤

差的，計(jì)算乘積只需要計(jì)算整數(shù)部分，如 2.6%≈3%。

練習(xí) 2：-18%+5%+（-18%）*5%=-13%-18%*1/20≈-13%-1%=-14%。

練習(xí) 3：-18%+（-5%）+（-18%）*（-5%）≈-23%+1%=-22%。

④注意：乘積估算時(shí)，保留整數(shù)部分就行。

【知識(shí)點(diǎn)】做題思維：不要被題目外在的信息迷惑，抓住本質(zhì)。

1.識(shí)別題型。

2.列式。

3.計(jì)算。

【例 1】（2019山東）雖然 2014～2016年間全國(guó)醫(yī)療衛(wèi)生機(jī)構(gòu)床位數(shù)增長(zhǎng)速

度持續(xù)下滑，但 2016 年床位數(shù)仍然比 2014年增加了：

A.12.26% B.10.87%

C.13.21% D.9.69%

【解析】例 1.第一步先識(shí)別題型，增加+%，求增長(zhǎng)率，問的是 2016年比 2014

年，隔一年，求增長(zhǎng)率，間隔增長(zhǎng)率，公式：和+積=r1+r2+r1*r2。代入數(shù)據(jù)，r 間

=6.3%+5.6%+6.3%*5.6%=11.9%+一個(gè)正數(shù)，6.3%*5.6%乘積可以忽略，結(jié)果≈11.9%，

找個(gè)最接近的，對(duì)應(yīng) A項(xiàng)。【選 A】

2015 年全年有 1838.4 萬人次困難群眾受益，同比增長(zhǎng) 8.5%，增長(zhǎng)率較上一

年下降 27.5個(gè)百分點(diǎn)。

【例 2】（2017聯(lián)考）2015年受益的困難群眾較 2013年增長(zhǎng)約：

A.47.6% B.40.4%

C.34.5% D.27.6%

【解析】例 2.識(shí)別題型，增長(zhǎng)+%，求增長(zhǎng)率，問的是 2015 年比 2013 年，

隔一年，間隔增長(zhǎng)率問題，和+積。r1=8.5%，r2=8.5%+27.5%（高減低加）=36%，

r 間=8.5%+36%+8.5%*36%=44.5%+一個(gè)正數(shù)＞44.5%。觀察選項(xiàng)，排除 B、C、D項(xiàng)，

選擇 A項(xiàng)。【選 A】

2014年1～5月，我國(guó)軟件和信息技術(shù)服務(wù)業(yè)實(shí)現(xiàn)軟件業(yè)務(wù)收入 13254億元，

同比增長(zhǎng) 20.9%，5月份完成收入 2968億元，同比增長(zhǎng) 20.6%，1～5月，軟件業(yè)

實(shí)現(xiàn)出口 182億美元，同比增長(zhǎng) 14.8%，增速比去年同期高 4.7個(gè)百分點(diǎn)。

【例 3】（2015 北京）2014 年 1～5 月，軟件業(yè)出口額比兩年前增長(zhǎng)的比例

在以下哪個(gè)范圍之內(nèi)？

A.低于 20% B.20%～30%之間

C.30%～40%之間 D.高于 40%

【解析】例 3.增長(zhǎng)的比例，增長(zhǎng)+%，求增長(zhǎng)率，比兩年前，隔了一年，間

隔 增 長(zhǎng) 率 ， 和 + 積 。 r1=14.8% ， r2=14.8%-4.7%=10.1% ， r 間

=14.8%+10.1%+14.8%*10.1%=24.9%+一個(gè)正數(shù)＞24.9%。觀察選項(xiàng)，排除 A 項(xiàng)，需

要計(jì)算乘積，14.8%*10.1%≈1%，再加上 1%，為 25.9%，對(duì)應(yīng) B項(xiàng)。【選 B】

【知識(shí)點(diǎn)】題型延伸：

1.間隔倍數(shù)=間隔 r+1。例：2017年比 2016 年增長(zhǎng) 50%，推出 2017年是 2016

年的 1.5 倍，倍數(shù)=增長(zhǎng)率+1。問間隔倍數(shù)，先求間隔增長(zhǎng)率，再加 1。

2.間隔基期=現(xiàn)期/（1+間隔 r）。現(xiàn)期是 2018 年，基期是 2016 年，間隔基

期。

3.間隔增長(zhǎng)量：假設(shè)現(xiàn)期 100，r=10%，求增長(zhǎng)量（普通的增長(zhǎng)量），10%=1/10，

增長(zhǎng)量=100/（10+1）。間隔增長(zhǎng)量也是如此。

（1）間隔|r|=1/n；（2）增長(zhǎng)量=現(xiàn)期/（n+1），減少量=現(xiàn)期/（n-1）。

2013年 3月末，金融機(jī)構(gòu)人民幣各項(xiàng)貸款余額 65.76萬億元，同比增長(zhǎng) 14.9%，

增速比上年同期低 0.8 個(gè)百分點(diǎn)。

【例 4】（2014河南）2013年 3月末，金融機(jī)構(gòu)人民幣各項(xiàng)貸款余額約是 2011

年同期的多少倍？

A.1.1 B.1.2

C.1.4 D.1.3

【解析】例 4.識(shí)別題型，是幾倍，倍數(shù)問題，2013 年 3月末比 2011年同期，

隔一年，間隔倍數(shù)問題，間隔倍數(shù)=r 間+1。先求 r 間，r=14.9%+15.7%+14.9%*15.7%

≈30.6%+2%=32.6%，間隔倍數(shù)=1+32.6%=1.326，對(duì)應(yīng) D項(xiàng)。【選 D】

【注意】

1.簡(jiǎn)便方法：間隔倍數(shù)=r 間+1，把選項(xiàng)轉(zhuǎn)化為 r 間+1 的形式，也就是間隔增

長(zhǎng)率為 10%、20%、40%、30%。r 間=14.9%+15.7%+14.9%*15.7%=30.6%+2+%，結(jié)果

還是 30%多一點(diǎn)，對(duì)應(yīng) D項(xiàng)。

2.總結(jié)：求間隔倍數(shù)時(shí)，用間隔倍數(shù)-1，轉(zhuǎn)化為間隔增長(zhǎng)率，分析更直觀。

2017 年上半年醫(yī)藥工業(yè)規(guī)模以上企業(yè)實(shí)現(xiàn)主營(yíng)業(yè)務(wù)收入 15314.40億元，同

比增長(zhǎng) 12.39%，增速較上年同期提高 2.25個(gè)百分點(diǎn)。

【例 5】（2017 新疆）在醫(yī)藥工業(yè)規(guī)模以上企業(yè)實(shí)現(xiàn)主營(yíng)業(yè)務(wù)收入上，2017

年上半年約是 2015年上半年的：

A.1.13 倍 B.0.13 倍

C.1.24 倍 D.0.24 倍

【解析】例 5.倍數(shù)問題，隔一年，間隔倍數(shù)問題。r1=12.39%，r2=12.39%-2.25%

≈10%，間隔增長(zhǎng)率一定是個(gè)正數(shù)，把選項(xiàng)轉(zhuǎn)化為 r 間，可以排除 B、D 項(xiàng)。剩余

選項(xiàng)分別為 13%、24%，兩個(gè)數(shù) r1和 r2相加已經(jīng)為 20%多，不需要再計(jì)算，選擇 C

項(xiàng)。【選 C】

2018 年第一季度我國(guó)水產(chǎn)品進(jìn)出口 192.67 萬噸，同比減少 7.27%，增速較

上年同期減少 21.97 個(gè)百分點(diǎn)；進(jìn)出口總額 77.15 億美元，同比增加 10.84%。

貿(mào)易順差 19.66億美元，同比減少 2.15億美元。

【例 6】（2019甘肅）2016年第一季度我國(guó)水產(chǎn)品進(jìn)出口總量最接近以下哪

個(gè)數(shù)字？

A.140 萬噸 B.160 萬噸

C.180 萬噸 D.200 萬噸

【解析】例 6.判斷題型，隔一年求基期，間隔基期，先求間隔增長(zhǎng)率，再

求基期。r1=-7.27%，r2=-7.27%+21.97%≈14.7%，r 間=-7.27%+14.7%+（-7.27%）

*（14.7%）≈7.4%-1%=6.4%。求基期，約為 193/（1+6.4%），看選項(xiàng)差距，選項(xiàng)

差距大，截兩位，為 193/1.1，錯(cuò)位相減，為 193-19.3=173+，選個(gè)最接近的，

對(duì)應(yīng) C項(xiàng)。【選 C】

上半年，基本型乘用車（轎車）產(chǎn)、銷量分別為 583.39萬輛和 584.13 萬輛，

同比增長(zhǎng) 11.81%和 11.69%，增幅高于上年同期 5.79個(gè)百分點(diǎn)和 6.15個(gè)百分點(diǎn)；

運(yùn)動(dòng)型多用途乘用車（SUV）產(chǎn)、銷量分別為 134.52 萬輛和 132.98 萬輛，同比

增長(zhǎng) 41.64%和 41.56%，增幅高于上年同期 7.08 個(gè)百分點(diǎn)和 9.54 個(gè)百分點(diǎn)；多

功能乘用車（MPV）產(chǎn)、銷量分別為 57.29萬輛和 56.75萬輛，同比均增長(zhǎng)了 130%；

交叉型乘用車產(chǎn)、銷量分別為 91.25 萬輛和 92.65 萬輛，同比下降 23.01%和

22.49%。

【例 7】（2014 政法干警）與 2011 年上半年相比，2013 年上半年基本型乘

用車產(chǎn)量約增加了多少萬輛：

A.30 B.60

C.90 D.120

【解析】例 7.增加+單位，求增長(zhǎng)量，隔一年，間隔增長(zhǎng)量。先求間隔增長(zhǎng)

率，r 間=1/n，增長(zhǎng)量=現(xiàn)期/（n+1）。r1=11.81%≈11.8%，r2≈11.8%-5.8%=6%，r

間=11.8%+6%+11.8%*6%≈17.8%+1%=18.8%。若看成 20%，化為 1/5，增長(zhǎng)量=583.39/

（5+1）=583.39/6，首位商 9，對(duì)應(yīng) C項(xiàng)。【選 C】

【注意】間隔增長(zhǎng)補(bǔ)充：

1.間隔兩年：

（1）求 2020年比 2017年的增長(zhǎng)率，中間隔了兩年（2019年和 2018 年）。

給的條件是已知 2019年比 2017年的增長(zhǎng)率 r2和 2020年比 2019年的增長(zhǎng)率 r1，

求 2020 年比 2017年的增長(zhǎng)率，也可以用公式 r=r1+r2+r1*r2。

（2）求 2020年比 2017年的增長(zhǎng)率，條件給的是三年的增長(zhǎng)率，即已知 2020

年比 2019 年的增長(zhǎng)率 r1，2019年比 2018年的增長(zhǎng)率 r2，2018年比 2017 年的增

長(zhǎng)率 r3，這種情況存在，但是很少，一般不考。假設(shè) 2017 年的量為 A，則 2018

年為 A*（1+r3），2019 年為 A*（1+r3）*（1+r2），2020年為 A*（1+r3）*（1+r2）

*（1+r1），因此 2020年比 2017年的增長(zhǎng)率為[A*（1+r3）*（1+r2）*（1+r1）]/A-1=

（1+r1）*（1+r2）*（1+r3）-1。以此類推，如果是已知四年的增長(zhǎng)率，再乘以

（1+r4）。

2.間隔增長(zhǎng)逆運(yùn)用。正常求間隔增長(zhǎng)率的情況是已知兩個(gè)"眉毛"（r1 和

r2），求"嘴"（間隔增長(zhǎng)率），也可能已知"嘴"（間隔增長(zhǎng)率）和一根"眉

毛"（r1），求另一根眉毛（r2）。

【拓展 1】2017 年 1～2 月，全國(guó)造船完工 936 萬載重噸，同比增長(zhǎng) 123%；

承接新船訂單 221 萬載重噸，同比增長(zhǎng) 133%。2 月末，手持船舶訂單 9207 萬載

重噸，同比下降 22.6%，比 2016年末下降 7.6%。

（2018 國(guó)考）2016 年末全國(guó)手持船舶訂單較同年 2月末：

A.降低 16.2% B.降低 2.2%

C.增加 16.2% D.增加 2.2%

【解析】拓展 1.求 2016 年末比同年 2 月末的增長(zhǎng)率，已知 2017 年 2 月末

比 2016 年 2 月末的增長(zhǎng)率，以及 2017 年 2 月末比 2016 年末的增長(zhǎng)率，正常做

可以先求出基期，2016年 2月末為 9207/（1-22.6%），2016年末為 9207/（1-7.6%），

再求兩者之間的增長(zhǎng)率，這么做相當(dāng)麻煩。羅列時(shí)間，有三個(gè)時(shí)間點(diǎn)，有 2017

年 2月、2016年末、2016 年 2月，已知 2017年 2 月比 2016年末的增長(zhǎng)率和 2017

年 2 月比 2016 年 2 月的增長(zhǎng)率，求 2016 年末比 2016 年 2 月的增長(zhǎng)率，是間隔

增長(zhǎng)率的逆運(yùn)用。列式：-7.6%+r2+（-7.6%）*r2=-22.6%，觀察大小，r2 肯定是

一個(gè)負(fù)數(shù)，排除 C、D 項(xiàng)。代入 B項(xiàng)，-7.6%+（-2.2%）+（-7.6%）*（-2.2%）≠

-22.6%，排除 B項(xiàng)，對(duì)應(yīng) A項(xiàng)。【選 A】

【注意】間隔增長(zhǎng)率：

1.識(shí)別：隔一年求增長(zhǎng)率，也可以識(shí)別為已知兩個(gè)"眉毛"，求一張"嘴"。

2.公式：和加積，r=r1+r2+r1*r2。

3.速算：

（1）先計(jì)算 r1+r2，觀察選項(xiàng)，判斷是否能確定唯一值。若不能確定唯一值，

再計(jì)算 r1*r2。

（2）方法：當(dāng) r1和 r2的絕對(duì)值都小于 10%時(shí)，忽略 r1*r2。若不能忽略，則

一個(gè)增長(zhǎng)率不變，一個(gè)增長(zhǎng)率百化分，算出乘積的整數(shù)部分即可。

4.間隔倍數(shù)：先求間隔增長(zhǎng)率，再加 1。一般是逆運(yùn)用，先把選項(xiàng)都減 1轉(zhuǎn)

化為增長(zhǎng)率，再分析。

5.間隔基期：先求間隔增長(zhǎng)率，再求基期。

6.間隔增量：先求間隔增長(zhǎng)率，再求間隔增量=現(xiàn)期/（n+1）。

【注意】練習(xí)：

1.8.6%+4.7%=13.3%，原式＞13.3%，排除 A 項(xiàng)，8.6%、4.7%都沒到 10%，

8.6%*4.7%可忽略，最接近的是 B項(xiàng)。

2.34.6%+14.2%=48.8%，原式＞48.8%，排除 A、B、C項(xiàng)，對(duì)應(yīng) D項(xiàng)。如果算

r1*r2，34.6%*14.2%≈35%*1/7=5%，48.8%+5%=53.8%，最接近的是 D項(xiàng)。

3.-12.1%+24.2%=12.1%，原式=12.1%-12.1%*24.2%＜12.1%，排除 C、D 項(xiàng)。

12.1%-1%=11.1%，12.1%*24.2%＞10%*10%=1%，原式比 11.1%還要小，對(duì)應(yīng) A項(xiàng)。

4.-37%+（-11.3%）=-48.3%，原式=-48.3%+一個(gè)正數(shù)＞-48.3%，排除 D 項(xiàng)。

（-37%）*（-11.3%）≈4%，-48.3%+4%≈-44%，對(duì)應(yīng) C項(xiàng)。

5.67.2%+75.4%=142.6%，142.6%+67.2%*75.4%＞142.6%，四個(gè)選項(xiàng)都符合。

6.7%≈1/15，67%=6.7%*10≈1/15*10=1/1.5，67.2%*75.4%≈1/1.5*75%≈50%，

142.6%+50%=192.6%，最接近的是 C項(xiàng)。

【練習(xí) 1】2018年,我國(guó)全社會(huì)用電量 68449 億千瓦時(shí)，同比增長(zhǎng) 8.5%，增

幅同比提高 1.9 個(gè)百分點(diǎn)。具體來看,第一產(chǎn)業(yè)用電量 728 億千瓦時(shí)，同比增長(zhǎng)

9.8%；第二產(chǎn)業(yè)電量 47235 億千瓦時(shí)，同比增長(zhǎng) 7.2%；第三產(chǎn)業(yè)用電量 10801

億千瓦時(shí)，同比增長(zhǎng)12.7%；城鄉(xiāng)居民生活用電量 9685億千瓦時(shí)，同比增長(zhǎng) 10.4%。

（2019 廣東）2018 年，我國(guó)全社會(huì)用電量較 2016年增加了約：

A.13.7% B.15.7%

C.17.9% D.19.9%

【解析】練習(xí) 1.判斷題型，2018年和 2016 年之間隔著 2017年，求增長(zhǎng)率，

則判斷求間隔增長(zhǎng)率， r1=8.5%，"增幅同比提高 1.9 個(gè)百分點(diǎn)"，則

r2=8.5%-1.9%=6.6%，r=r1+r2+r1*r2=8.5%+6.6%+r1*r2，r1*r2 忽略，最接近的是 B

項(xiàng)。【選 B】

【練習(xí) 2】2014 年，金融業(yè)增加值增速較快，比第三產(chǎn)業(yè)增加值增速 8.1%

快 2.1個(gè)百分點(diǎn)。電子商務(wù)全國(guó)網(wǎng)上零售額增長(zhǎng)贏得最佳績(jī)，比全社會(huì)消費(fèi)品零

售總額增速 12.0%快 37.7 個(gè)百分點(diǎn)，并拉動(dòng)快遞業(yè)務(wù)量較上年增長(zhǎng) 61.6%之后再

創(chuàng) 51.9%的高增速。

（2015 江蘇）2014 年我國(guó)的快遞業(yè)務(wù)量約是 2012年的：

A.1.8 倍 B.2.1 倍

C.2.5 倍 D.3.3 倍

【解析】練習(xí) 2.判斷題型，2014 年和 2012 年之間間隔 2013 年，求倍數(shù)，

是求間隔倍數(shù)，先把選項(xiàng)都減 1，四個(gè)選項(xiàng)減 1后分別是 80%、110%、150%、230%。

"拉動(dòng)快遞業(yè)務(wù)量較上年增長(zhǎng) 61.6%之后再創(chuàng) 51.9%的高增速"，已知兩個(gè)增長(zhǎng)

率，相當(dāng)于給了 r1和 r2，即 61.6%和 51.9%。舉例理解："運(yùn)動(dòng)會(huì)繼上一年取得

第三名之后，又取得了第二名的好成績(jī)"，說明上一年是第三，今年是第二。本

題也是這么理解， 61.6%是去年的增長(zhǎng)率， 51.9%是今年的增長(zhǎng)率，

r=r1+r2+r1*r2=61.6%+51.9%+61.6%*51.9%≈110%+r1*r2＞110%，排除 A、B 項(xiàng)，

61.6%*51.9%不到 100%，間隔增長(zhǎng)率到不了 230%，排除 D項(xiàng)。【選 C】

【注意】課后思考三個(gè)問題：

1.如果付出就有回報(bào)，你愿意付出嗎？

2.如果別人和你現(xiàn)在一樣，而你卻在不斷進(jìn)步，你會(huì)不會(huì)比他更優(yōu)秀？

3.如果有人成功，那會(huì)是你嗎？

4.一定有人會(huì)成功，那為什么不能是我呢！

【答案匯總】1-5：AABDC；6-7：CC